RNN求解过程推导与实现
RNN
LSTM
BPTT
matlab code
opencv code
BPTT,Back Propagation Through Time.
首先来看看怎么处理RNN。
RNN展开网络如下图
RNN展开结构.jpg
RNN节点结构.jpg
现令第t时刻的输入表示为,隐层节点的输出为,输出层的预测值,输入到隐层的权重矩阵,隐层自循环的权重矩阵,隐层到输出层的权重矩阵,对应的偏执向量分别表示为,输入层的某一个节点使用i标识，如,类似的隐层和输出层某一节点表示为。这里我们仅以三层网络为例。
那么首先正向计算
其中分别表示激活前对应的加权和，表示激活函数。
然后看看误差如何传递。
假设真实的输出应该是,那么误差可以定义为,是训练样本的index。整个网络的误差
我们将RNN再放大一些，看看细节
RNN节点内部连接.jpg
令则
矩阵向量化表示
所以梯度为：
其中是点乘符号，即对应元素乘。
代码实现：
我们可以注意到在计算梯度时需要用到的之前计算过的量，即需要保存的量包括，前向计算时隐层节点和输出节点的输出值，以及由时刻累积的。
人人都能用Python写出LSTM-RNN的代码！[你的神经网络学习最佳起步]这篇文章里使用python实现了基本的RNN过程。代码功能是模拟二进制相加过程中的依次进位过程，代码很容易明白。
这里改写成matlab代码
- function error = binaryRNN( )
largestNumber=256;
T=8;
dic=dec2bin(0:largestNumber-1)-'0';% 将uint8表示成二进制数组，这是一个查找表
%% 初始化参数
eta=0.1;% 学习步长
inputDim=2;% 输入维度
hiddenDim=16; %隐层节点个数
outputDim=1; % 输出层节点个数
W=rand(hiddenDim,outputDim)*2-1;% (-1,1)参数矩阵
U=rand(hiddenDim,hiddenDim)*2-1;% (-1,1)参数矩阵
V=rand(inputDim,hiddenDim)*2-1; % (-1,1)参数矩阵
delta_W=zeros(hiddenDim,outputDim); % 时刻间中间变量
delta_U=zeros(hiddenDim,hiddenDim);
delta_V=zeros(inputDim,hiddenDim);
error=0;
for p=1:10000
aInt=randi(largestNumber/2);
bInt=randi(largestNumber/2);
a=dic(aInt+1,:);
b=dic(bInt+1,:);
cInt=aInt+bInt;
c=dic(cInt+1,:);
y=zeros(1,T);
preh=zeros(1,hiddenDim);
hDic=zeros(T,hiddenDim);
%% 前向计算
for t=T:-1:1 % 注意应该从最低位计算，也就是二进制数组最右端开始计算
x=[a(t),b(t)];
h=sigmoid(x*V+preh*U);
y(t)=sigmoid(h*W);
hDic(t,:)=h;
preh=h;
end
err=y-c;
error=error+norm(err,2)/2;
next_delta_h=zeros(1,hiddenDim);
%% 反馈
for t=1:T
delta_y = err(t).*sigmoidOutput2d(y(t));
delta_h=(delta_y*W'+next_delta_h*U').*sigmoidOutput2d(hDic(t,:));
delta_W=delta_W+hDic(t,:)'*delta_y;
if t<T
delta_U=delta_U+hDic(t+1,:)'*delta_h;
end
delta_V=delta_V+[a(t),b(t)]'*delta_h;
next_delta_h=delta_h;
end
% 梯度下降
W=W-eta*delta_W;
U=U-eta*delta_U;
V=V-eta*delta_V;
delta_W=zeros(hiddenDim,outputDim);
delta_U=zeros(hiddenDim,hiddenDim);
delta_V=zeros(inputDim,hiddenDim);
if mod(p,1000)==0
fprintf('Samples:%d\n',p);
fprintf('True:%d\n',cInt);
fprintf('Predict:%d\n',bin2dec(int2str(round(y))));
fprintf('Error:%f\n',norm(err,2)/2);
end
end
end
function sx=sigmoid(x)
sx=1./(1+exp(-x));
end
function dx=sigmoidOutput2d(output)
dx=output.*(1-output);
end
为了更深入理解RNN过程，这里我想用OpenCV和C++实现自己的RNN，简单的单隐层网络。同样类似的功能，模拟多个十进制数的加法进位过程。
- # include "highgui.h"
# include "cv.h"
# include <iostream>
#include "math.h"
#include<cstdlib>
using namespace std;
# define random(x) ((rand()*rand())%x) //生成0-x的随机数
void Display(CvMat* mat)
{
cout << setiosflags(ios::fixed);
for (int i = 0; i < mat->rows; i++)
{
for (int j = 0; j < mat->cols; j++)
cout << cvmGet(mat, i, j) << " ";
cout << endl;
}
}
// sigmoid 函数
float sigmoid(float x)
{
return 1 / (1 + exp(-x));
}
CvMat* sigmoidM(CvMat* mat)
{
CvMat*mat2 = cvCloneMat(mat);
for (int i = 0; i < mat2->rows; i++)
{
for (int j = 0; j < mat2->cols; j++)
cvmSet(mat2, i, j, sigmoid(cvmGet(mat, i, j)));
}
return mat2;
}
//sigmoid 函数的导数
float diffSigmoid(float x)
{
//注意，这里的x已经是sigmoid的结果
return x*(1 - x);
}
CvMat* diffSigmoidM(CvMat* mat)
{
CvMat* mat2 = cvCloneMat(mat);
for (int i = 0; i < mat2->rows; i++)
{
for (int j = 0; j < mat2->cols; j++)
{
float t = cvmGet(mat, i, j);
cvmSet(mat2, i, j, t*(1 - t));
}
}
return mat2;
}
/**************随机生成inputdim个整数，并求和******************
* inputdim 整数的个数
* MAX 整数的最大范围
* Sample 存放整数
* 返回 整数和
**************************************************************/
int sample(int inputdim, CvMat* Sample,int MAX)
{
int sum = 0;
for (int i = 0; i < inputdim; i++)
{
int t = random(MAX);
cvmSet(Sample, 0, i, t);
sum += cvmGet(Sample,0,i);
}
return sum;
}
/********将整数拆分成10以内的数，作为每个时刻的输入*************
* Sample 存放的整数 大小 1*inputdim
* 返回 拆分后的输入数据 大小 inputdim*9
****************************************************************/
CvMat* splitM( CvMat*Sample)
{
CvMat* mat = cvCreateMat(Sample->cols, 8, CV_32F);
cvSetZero(mat);
for (int i = 0; i < mat->rows; i++)
{
int x = cvmGet(Sample,0,i);
for (int j = 0; j < 8; ++j)
{
cvmSet(mat,i,j, x % 10);
x = x / 10;
}
}
return mat;
}
/***************将数字数组整合成一个整数******************************
*mat 数字数组，即每个元素是十以内的整数，大小1*9
*返回 整合后的整数
*********************************************************************/
int merge(CvMat* mat)
{
double d = 0;
for (int i = mat->cols; i >0; i--)
{
d = 10 * d + round(10*(cvmGet(mat,0,i-1)));
}
return int(d);
}
/*****************将输出的数值拆分**************************************
* y 输出的数值
* 返回 长度为9的数组,这里转换成了0，1之间的数
***********************************************************************/
CvMat* split(int y)
{
CvMat* mat = cvCreateMat(1, 8, CV_32F);
for (int i = 0; i < 8; i++)
{
cvmSet(mat,0,i, (y % 10) / 10.0);
y = y / 10;
}
return mat;
}
/**********************产生随机矩阵******************************
* rows, cols, 矩阵的规模
* a, b, 区间
* 返回 返回[a,b]之间的随机矩阵
*****************************************************************/
CvMat*randM(int rows,int cols, float a,float b)
{
CvMat* mat = cvCreateMat(rows, cols, CV_32FC1);
float* ptr;
for (int i = 0; i < mat->rows; i++)
{
for (int j = 0; j < mat->cols; j++)
{
cvmSet(mat, i, j, random(1000) / 1000.0*(b - a) + a);
}
}
return mat;
}
int main()
{
srand(time(NULL));
//首先，先定义网络
int inputdim = 2;//不超过10
int hiddendim = 16;
int outputdim = 1;
float eta = 0.1;
int MAX = 100000000;//令整数最多八位
//初始化参数矩阵
CvMat* V = randM(inputdim, hiddendim,-1,1);
CvMat* U = randM(hiddendim, hiddendim, -1, 1);
CvMat* W = randM(hiddendim, outputdim, -1, 1);
CvMat* bh = randM(1, hiddendim, -1, 1);
CvMat* by = randM(1, outputdim, -1, 1);//偏置
CvMat*Sample = cvCreateMat(1, inputdim, CV_32F);
cvSetZero(Sample);
CvMat* delta_V = cvCloneMat(V);
CvMat* delta_U = cvCloneMat(U);
CvMat* delta_W = cvCloneMat(W);
CvMat* delta_by = cvCloneMat(by);
CvMat* delta_bh = cvCloneMat(bh);
//开始训练，训练集大小10000
for (int p = 0; p < 20000; p++)
{
int sum = sample(inputdim,Sample,MAX);
CvMat* sampleM = splitM(Sample);//每一行对应着一个整数的拆分，个位在前
CvMat* d = split(sum);//真实结果拆分，每位存放的是除以10后的小数
//正向计算
CvMat* pre_h = cvCreateMat(1, hiddendim, CV_32F);
cvSetZero(pre_h);//初始化最开始的h_{-1}
CvMat* y = cvCreateMat(1, 8, CV_32F);
cvSetZero(y);//定义输出量
CvMat* h = cvCreateMat(8, hiddendim, CV_32F);//每一行存储一个时刻的隐变量输出
CvMat* temp1 = cvCreateMat(1, hiddendim, CV_32F);
CvMat* temp2 = cvCreateMat(1, outputdim, CV_32F);
CvMat* xt = cvCreateMatHeader(inputdim, 1, CV_32S);
for (int t = 0; t < 8; t++)
{
cvGetCol(sampleM, xt, t);//获取第t时刻输入值
cvGEMM(xt, V, 1,bh, 1, temp1, CV_GEMM_A_T);
cvGEMM(pre_h, U, 1, temp1, 1, pre_h);// t时刻隐层输出
pre_h = sigmoidM(pre_h);
cvGEMM(pre_h, W, 1, by, 1, temp2);
float yvalue = sigmoid(cvmGet(temp2, 0, 0));
cvmSet(y, 0, t, yvalue);//t时刻的输出
//保存隐层输出
for (int j = 0; j < hiddendim; j++)
{
cvmSet(h, t, j, cvmGet(pre_h, 0, j));
}
}
cvReleaseMat(&temp1);
cvReleaseMat(&temp2);
//观察代码
int oy = merge(y);
CvMat* temp = cvCreateMat(1, 8, CV_32F);
cvSub(y, d, temp);
double error = 0.5*cvDotProduct(temp, temp);
if ((p+1)%1000==0)
{
cout << "************************第" << p + 1 << "个样本***********" << endl;
cout << "真实值:" << sum%MAX << endl;
cout << "预测值:" << oy << endl;
cout << "误差：" << error << endl;
}
//反向传递误差
cvSetZero(delta_V);
cvSetZero(delta_U);
cvSetZero(delta_W);
cvSetZero(delta_bh);
cvSetZero(delta_by);
CvMat* delta_h = cvCreateMat(1, hiddendim, CV_32F);
cvSetZero(delta_h);
CvMat* delta_y = cvCreateMat(1, outputdim, CV_32F);
cvSetZero(delta_y);
CvMat* next_delta_h = cvCreateMat(1, hiddendim, CV_32F);
cvSetZero(next_delta_h);
for (int t = 7; t > 0; t--)
{
cvmSet(delta_y, 0, 0, (cvmGet(y, 0, t) - cvmGet(d, 0, t))*diffSigmoid(cvmGet(y, 0, t)));
cvGEMM(delta_y, W, 1, delta_h, 0, delta_h, CV_GEMM_B_T);
cvGEMM(next_delta_h, U, 1, delta_h, 1, delta_h, CV_GEMM_B_T);
cvMul(delta_h, diffSigmoidM(cvGetRow(h, temp, t)), delta_h);
//更新delta_y,delta_h
cvGEMM(cvGetRow(h, temp, t), delta_y, 1, delta_W, 1, delta_W, CV_GEMM_A_T);
if (t>0)
cvGEMM(cvGetRow(h, temp, t - 1), delta_h, 1, delta_U, 1, delta_U, CV_GEMM_A_T);
cvGetCol(sampleM, xt, t);
cvGEMM(xt, delta_h, 1, delta_V, 1, delta_V);
cvAddWeighted(delta_by, 1, delta_y, 1, 0, delta_by);
cvAddWeighted(delta_bh, 1, delta_h, 1, 0, delta_bh);
cvAddWeighted(delta_h, 1, next_delta_h, 0, 0, next_delta_h);
}
cvAddWeighted(W, 1, delta_W, -eta, 0, W);
cvAddWeighted(V, 1, delta_V, -eta, 0, V);
cvAddWeighted(U, 1, delta_U, -eta, 0, U);
cvAddWeighted(by, 1, delta_by, -eta, 0, by);
cvAddWeighted(bh, 1, delta_bh, -eta, 0, bh);
cvReleaseMat(&sampleM);
cvReleaseMat(&d);
cvReleaseMat(&pre_h);
cvReleaseMat(&y);
cvReleaseMat(&h);
cvReleaseMat(&delta_h);
cvReleaseMat(&delta_y);
}
cvReleaseMat(&U);
cvReleaseMat(&V);
cvReleaseMat(&W);
cvReleaseMat(&by);
cvReleaseMat(&bh);
cvReleaseMat(&Sample);
cvReleaseMat(&delta_V);
cvReleaseMat(&delta_U);
cvReleaseMat(&delta_W);
cvReleaseMat(&delta_by);
cvReleaseMat(&delta_bh);
system("PAUSE");
return 0;
}
下面是代码结果，并没有完全一致。分析下主要原因可能是由于输出层是(0,1)的小数，但我们希望得到的是[0,10]的整数，而通过round或者强制类型转换总会带来较大误差，所以会出现预测值和真实值差别很大，这时候其实比较值的差异意义不大，应该对比每一位上数字的差异。
1479024804302.jpg
再下面是3个输入，32个隐层节点的结果
1479024912622.jpg
PS. 作为opencv新手，觉得matlab半小时搞定的东西，opencv要捣鼓两个小时。。。